Ներդաշնակ տատանումներ

Ֆունկցիաների վարքագիծը և գրաֆիկների ձևափոխությունը հասկանալը հիմնարար նշանակություն ունի ֆունկցիաների հետազոտման համար։ Այս ինտերակտիվ վիզուալիզացիաները ցույց են տալիս, թե ինչպես են տարբեր պարամետրեր ազդում ներդաշնակ տատանումների վրա։

Ամպլիտուդ

Ինչպես է ամպլիտուդը ազդում ալիքի բարձրության վրա

A

Ամպլիտուդի բնութագիրը

y = A·sin(ωx + φ) + D

Ամպլիտուդը (A) որոշում է, թե որքանով է ֆունկցիան շեղվում իր «միջին» գծից։ Այս պարամետրը անմիջականորեն կարգավորում է ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները։

Արժեքների բազմությունը
[D−A; D+A]
Մեծագույն արժեքը
D + A
Փոքրագույն արժեքը
D − A
Ամպլիտուդի բանաձեվը
A = (Ymax − Ymin)/2

Ամպլիտուդը ուղղահայաց մասշտաբավորում է ալիքը՝ առանց ազդելու դրա հորիզոնական հատկությունների կամ ուղղահայաց դիրքի վրա։

🎯 Գլխավոր եզրակացություն Ամպլիտուդը (A) ալիքը ուղղահայաց մասշտաբավորում է։ Երբ այլ պարամետրեր (ω, φ, D) ֆիքսված են, A-ի կրկնապատկումը կրկնապատկում է ալիքի բարձրությունը։ Ֆիզիկայում ամպլիտուդը հաճախ ներկայացնում է ազդանշանի ուժգնությունը կամ ալիքի էներգիան։

Պարբերություն & Հաճախականություն

Ինչպես է անկյունային հաճախականությունը ազդում ալիքի երկարության վրա

Պարբերություն (T)

Պարբերության & հաճախականության բնութագիրը

y = A·sin(ωx + φ) + D

Անկյունային հաճախականությունը (ω) սահմանում է մեկ միավորի համար ալիքի տատանման արագությունը ռադիաններով։

Անկյունային հաճախականությունը
ω ռադիան/միավոր
Պարբերությունը (հիմնական)
T = 2π/|ω| միավոր
Հաճախականությունը
f = |ω|/(2π) ցիկլ/միավոր
Կապը
|ω| = 2πf

Հիմնական տարբերությունները:

• ω (անկյունային հաճախականություն): x միավորի համար անհրաժեշտ ռադիանները

• f (հաճախականություն): x միավորի համար անհրաժեշտ ամբողջական ցիկլերը

• T (պարբերություն): մեկ լրիվ ցիկլի համար անհրաժեշտ x միավորները

Ընդհանրապես բարձր |ω| ⇒ փոքր պարբերություն ⇒ արագ տատանումներ։

🎯 Գլխավոր եզրակացություն Անկյունային հաճախականությունը (ω) և պարբերությունը (T) հակադարձ համեմատական են: ω-ի կրկնապատկումը պարբերությունը կիսով չափ փոքրացնում է, ինչի արդյունքում ալիքը տատանվում է երկու անգամ ավելի արագ՝ պահպանելով նույն ամպլիտուդը և փուլը: Մեկ լրիվ ցիկլը 2π ռադիան է:

Փուլային տեղաշարժ

Ինչպես է հորիզոնական տեղափոխությունը ազդում ալիքի ցիկլի «մեկնարկի վայր»-ի վրա

Փուլային տեղաշարժի բնութագիրը

y = A·sin(ωx + φ) + D

Փուլային տեղաշարժը (φ) գրաֆիկը տեղափոխում է ձախ կամ աջ՝ առանց դրա ձևը փոխելու։ Այն որոշում է ալիքի ցիկլի մեկնարկի վայրը՝ կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ։

Հորիզոնական տեղաշարժ
−φ/ω միավորով
Ցիկլի մեկնարկի վայր
x = −φ/ω
φ > 0
տեղաշարժում է ձախ
φ < 0
տեղաշարժում է աջ

Համեմատության համար մոխրագույն ալիքը բնութագրում է φ = 0 դեպքը։ Երբ φ = 0, ալիքի ցիկլը «սկսվում» է սկզբնակետից: Երբ φ ≠ 0, ալիքը հորիզոնական ուղղությամբ տեղաշարժվում է −φ/ω միավորով: Դիտողություն. Իրական տեղաշարժը կախված է և՛ φ-ից, և՛ ω-ից:

Ուշադրություն. φ ռադիանով փուլային տեղաշարժը ֆունկցիայի արգումենտը փոփոխում է φ-ով, բայց իրական հորիզոնական տեղաշարժը −φ/ω է։

🎯 Գլխավոր եզրակացություն φ փուլային տեղաշարժը գործում է ω անկյունային հաճախականության հետ համատեղ։ Ֆիքսված ω-ի դեպքում π (180°) փուլային տեղաշարժը շրջում է ալիքը՝ դարձնելով վերջինս առաջինի հայելային արտապատկերումը OX առանցքի նկատմամբ։ Արգումենտի π/2-ով փոփոխումը սինուսը վերածում է կոսինուսի, ուստի տրված հավասարումով ֆունկցիան ներառում է նաև կոսինուսով ֆունկցիան․ φ=π/2 ⇒ y=Acos(ωx)։ Ազդանշանների մշակման մեջ փուլային տարբերությունները կարևոր են միջամտությունների օրինաչափությունների և համաժամեցման (սինխրոնիզացիա) համար։

Ուղղահայաց տեղաշարժ

Ինչպես է ուղղահայաց տեղաշարժը տեղափոխում ալիքը վերև կամ ներքև

D=0

Ուղղահայաց տեղաշարժի բնութագիրը

y = A·sin(ωx + φ) + D

Ուղղահայաց տեղաշարժը (D) գրաֆիկը տեղափոխում է վերև կամ ներքև՝ փոխելով «միջին» գծի դիրքը՝ առանց ալիքի ձևը փոխելու։

Միջին գիծը
y = D
Արժեքների բազմությունը
[D−A; D+A]
D > 0
տեղաշաժում է վերև
D < 0
տեղաշարժում է ներքև

Ֆունկցիայի բոլոր արժեքները փոփոխվում են D-ով։ Ֆունկցիայի «միջին» գիծը է դառնում y = D ուղիղը, իսկ արժեքների բազմությունը՝ [D−A; D+A] միջակայքը։ Սա ներկայացնում է ալիքի զուգահեռ տեղափոխություն օրդինատների առանցքի ուղղությամբ։

Պրակտիկ կիրառություններ. D-ն ներկայացնում է DC շեղումը էլեկտրական ազդանշաններում, բազային գիծը` տատանողական համակարգերում, կամ էլ պարբերական երևույթների, ինչպիսիք են մակընթացությունները կամ ջերմաստիճանները, միջին արժեքը։

🎯 Գլխավոր եզրակացություն D-ով ուղղահայաց տեղաշարժը հաստատուն փոփոխում է բոլոր y արժեքները՝ առանց ազդելու ալիքի ձևի, ամպլիտուդի կամ պարբերության վրա: Սովորաբար այն կիրառվում է մնացած բոլոր ձևափոխություններից հետո: Ազդանշանի մշակման ժամանակ հաճախ անհրաժեշտ է լինում D-ն (DC շեղում) հեռացնել AC բաղադրիչը վերլուծելուց առաջ:

Ամփոփում

f(x) = A·sin(ωx + φ) + D

Ամպլիտուդ (A)

Վերահսկում է ալիքի ուղղահայաց ձգումը/սեղմումը։ Որոշում է «միջին» գծից առավելագույն շեղումը։

Արժեքների բազմության վրա ազդեցությունը. Փոխում է ուղղահայաց սահմանները [D-A; D+A]-ի։

Անկյունային հաճախականություն (ω)

Վերահսկում է մեկ միավորի համար ալիքի տատանման արագությունը ռադիաններով։

Պարբերություն՝ T = 2π/|ω| (միավոր մեկ ցիկլի համար)

Հաճախականություն՝ f = |ω|/(2π) (ցիկլ մեկ միավորի համար)

Կապը․ |ω| = 2πf = 2π/T

Փուլային տեղաշարժ (φ)

Վերահսկում է ալիքի հորիզոնական տեղափոխությունը։ Տեղաշարժում է ալիքի ցիկլի «մեկնարկի վայր»-ը։

Տեղաշարժի չափը՝ -φ/ω միավոր հորիզոնական ուղղությամբ։ Դրական φ-ն տեղաշարժում է ձախ, իսկ բացասական φ-ն՝ աջ։

Ուղղահայաց տեղաշարժ (D)

Վերահսկում է ալիքի ուղղահայաց տեղափոխությունը։ Փոխում է «միջին» գծի դիրքը։

Արժեքների բազմության վրա ազդեցությունը. Փոփոխում է բոլոր y արժեքները D-ով։ Վերջնական արժքների տիրույթը [D-A; D+A] միջակայքն է։

🎯 Գլխավոր եզրակացություն Ընդհանրապես y = A sin(ωx + φ) + D ֆունկցիայում յուրաքանչյուր պարամետր անկախ կերպով ազդում է ալիքի վրա:
  • A-ն (ամպլիտուդ) ալիքը ուղղահայաց մասշտաբավորում է, այսինքն՝ բազմապատկում է բոլոր y արժեքները։
  • ω-ն (անկյունային հաճախականություն) ալիքը հորիզոնական մասշտաբավորում է՝ ազդելով T պարբերության և f հաճախականության վրա։
  • φ-ն (փուլ) ալիքը տեղաշարժում է հորիզոնական ուղղությամբ։ Ալիքի ցիկլի «մեկնարկի վայր»-ը x = -φ/ω-ն է։
  • D-ն (ուղղահայաց տեղաշարժ) ալիքը տեղաշարժում է ուղղահայաց ուղղությամբ՝ փոփոխելով բոլոր y արժեքները հաստատուն մեծությամբ։

Ընդհանուր առմամբ, ձևափոխությունները տեղի են ունենում հետևյալ հերթականությամբ՝

  1. հորիզոնական մասշտաբավորում (ω),
  2. հորիզոնական տեղաշարժ (φ),
  3. ուղղահայաց մասշտաբավորում (A),
  4. ուղղահայաց տեղաշարժ (D):